Table de vérité

Elle précise la valeur de la sortie en fonction de toutes les combinaisons d'entrées.

Dans l'exemple ci-dessus, la sortie de a et b est vraie seulement si a est faux et b est vrai.

Portes logiques

Les portes logiques sont les éléments de base des circuits numériques. Chaque porte réalise une opération booléenne sur ses entrées pour produire une sortie.

Ce cours présente quatre portes fondamentales :

• NOT — inversion d'un signal
• AND — produit logique (et)
• OR — somme logique (ou)
• XOR — ou exclusif

Chaque porte peut être représentée par sa table de vérité, son schéma (en notation européenne ou américaine) et sa notation algébrique.

NOT — Inversion

Table de vérité

Notation européenne

Notation américaine

Notation algébrique

Exemple

AND — Et logique

Table de vérité

Notation européenne

Notation américaine

Notation algébrique

Exemple

OR — Ou logique

Table de vérité

Notation européenne

Notation américaine

Notation algébrique

Exemple

XOR — Ou exclusif

Table de vérité

Notation européenne

Notation américaine

Notation algébrique

Exemple

Algèbre de Boole

Basée sur les travaux de George Boole (1854), l'algèbre de Boole permet d'exprimer et d'analyser le fonctionnement des circuits logiques sous une forme mathématique.

Une variable booléenne est un symbole utilisé pour représenter une action, une condition ou une donnée. Elle peut avoir seulement 2 valeurs : 0 ou 1.

Complément

C'est l'inverse d'une variable. Le complément de la variable A est noté A.

Si A = 1 alors A = 0, et si A = 0 alors A = 1.

Addition booléenne

C'est l'équivalent à l'opération OR.

Le résultat de l'opération vaut 1 si au moins une des deux variables d'entrée vaut 1, sinon 0.

Multiplication booléenne

C'est l'équivalent à l'opération AND.

Le résultat de l'opération vaut 1 si les deux variables d'entrées valent 1, sinon 0.

Ou Exclusif en booléen

Le Ou Exclusif n'a pas d'équivalence avec les 4 opérations mathématiques usuelles. On ajoute un opérateur équivalent au XOR ayant pour symbole ⊕.

Le résultat de l'opération vaut 1 si les variables d'entrées sont complémentaires, sinon 0.

Commutativité

Associativité

Distributivité

Règles de base

• A + 0 = A
• A + 1 = 1
• A + A = A
• A + A = A

• A · 0 = 0
• A · 1 = A
• A · A = A
• A · A = 0

• A = A
• A + A · B = A

  ⇒ A + A · B = A · (1 + B) = A · 1 = A

• (A + B) · (A + C) = A + B · C

  ⇒ (A + B) · (A + C) = A · A + A · C + B · A + B · C

  = A + A · (B + C) + B · C = A + B · C

Lois de De Morgan

• A · B = A + B
• A + B = A · B

SOP — Somme Des Produits

La Somme Des Produits est l'expression extraite de la table de vérité.

Exemple :

• Entrées : SEL, A et B définies sur 1 bit
• Sortie : Q définie sur 1 bit
• Q = A si SEL = 0, Q = B si SEL = 1

L'équation logique est établie à partir des conditions permettant d'avoir la sortie Q à 1. La sortie Q vaut :

Remarques :

• L'expression obtenue n'est pas la forme la plus simple, on peut la simplifier.
• Cette méthode peut être appliquée de manière mécanique et efficace à n'importe quel système à condition d'avoir la table de vérité.
• En théorie on peut maintenant implanter la fonction mais en pratique on ne le fait pas directement — dans l'exemple, il faudrait 8 portes AND à 2 entrées, 3 portes OR à 2 entrées et 4 inverseurs.

Simplification d'une SOP

Simplifier au maximum une somme des produits est possible via l'algèbre booléenne et la table de Karnaugh.

Le principe est de simplifier l'expression en utilisant les lois de De Morgan et les règles de base. Cela nécessite une bonne maîtrise de l'algèbre booléenne, entraînement, rigueur…